miércoles, 11 de febrero de 2009

Los signos métricos de la lineal B

Natalia Paola Manzano

Entre los ideogramas de la lineal B se encuentran unos signos, genialmente detectados por Bennett, aún antes del descifre, en un artículo de 1950 (1), que representan medidas de capacidad para áridos y para líquidos y medidas de peso. Cuando se medían materias secas, como trigo, cebada o juncia se usaba un determinado tipo de signos, signos diferentes se utilizaban para indicar la medición de materias líquidas como el aceite o el vino mientras que otros eran los indicados para registrar el peso de materiales que se pesaran como el bronce o el oro .

A continuación se presentan los ideogramas (*118, *117, *116, *115, *114) que se refieren a medidas de peso, cada uno definido convencionalmente con una letra así como ocurre con los otros dos sistemas:


El ideograma *118 L representa la unidad de medida superior del sistema de los pesos cuyos submúltiplos constituyen una fracción del mismo .

Los sistemas para la medición de materias áridas y líquidas no poseen una unidad de medida superior sino que esta se representa por medio del ideograma del comestible que se estaba registrando. Es como si, hoy en día, en lugar de hablar de un kilo de harina, de trigo o de cebada (aunque en el caso de las medidas micénicas las materías secas no se pesaban sino que se medían por volumen) habláramos de “una harina”, de “un trigo” o de “una cebada” sobrentendiendo que nos referimos en todos los casos a la misma cantidad.

Los ideogramas (*112, *111, *110) que indican medidas de capacidad para áridos son los siguientes:







El ideograma *112 T representa el primer submúltiplo del sistema mientras que el la unidad de medida se encontrará representada, como recién se ha dicho, por el ideograma de la materia árida en cuestión.


Los ideogramas (*113, *111, *110) del sistema de los líquidos son:




Salta inmediatamente a la vista que los ideogramas *111 V y *110 Z son comunes a ambos sistemas.

Observando los ideogramas de los tres sistemas es posible evidenciar que el *118 L y el *110 Z representan unos verdaderos pictogramas ya que en ellos podemos identificar una balanza y una copa. Todos los signos, por ser logogramas que se refieren a medidas, pueden definirse como metrogramas.



   Los valores relativos de los signos métricos, es decir la cantidad fraccionaria que éstos representan con respecto a la unidad de medida y a los submúltiplos mayores, se pueden deducir del estudio de los textos y, en algunos casos, con total certeza (la definición de los valores absolutos, es decir de las cantidades que dichos signos representan es en cambio mucho más incierta y complicada).
   Para determinar el valor relativo de un signo métrico es posible basarse en la frecuencia de los números que siguen dicho signo ya que, si éste nunca precede una cifra superior a un número dado, es probable que la fracción que representa tenga como denominador un valor superior de una unidad al número en cuestión. Obviamente no se trata de un método infalible puesto que se basa en un argumentum e silentio pero ofrece un indicio acerca de la fracción menor[1] que puede representar un submúltiplo. Cuando en cambio un documento presenta una suma de las cantidades fraccionarias en la que la cantidad expresada en un submúltiplo menor se halle transformada en una cantidad expresada en un submúltiplo mayor, es entonces posible definir con seguridad el valor relativo del submúltiplo en cuestión.
   Los valores relativos de los metrogramas del sistema de los pesos con respecto al submúltiplo inmediatamente superior son:

M = 1/30 L
N = 1/4 M
P = 1/12 N
Q = 1/6 P

   Los valores de los submúltiplos con respecto a la unidad son entonces:

M = 1/30
N = 1/120 (1/4 x 1/30)
P = 1/1440 (1/12 x 1/120)
Q = 1/8640 (1/6 x 1/1440)


   Los valores relativos de los metrogramas del sistema de los líquidos con respecto al submúltiplo inmediatamente superior son:

S = 1/3 U.M.[2]
V = 1/6 S
Z = 1/4 V

   Los valores de los submúltiplos con respecto a la unidad son entonces:

S = 1/3
V = 1/18 (1/6 x 1/3)
Z = 1/72 (1/4 x 1/18)

   En lo que respecta al sistema de los áridos, antes de los hallazgos de la Odos Pelopidou, se consideraba que los valores relativos de los metrogramas con respecto al submúltiplo inmediatamente superio fueran:

T = 1/10 U.M.
V = 1/6 T
Z = 1/4 Z

   Por consecuencia los valores con respecto a la unidad serían:

T = 1/10
V = 1/60 (1/6. 1/10)
Z = 1/240 (1/4. 1/60)

   Ahora bien, el valor de T = 1/10 U.M. se basa en la frecuencia de los números que siguen dicho metrograma y no en una transformación de éste en la unidad de medida. Como se ha dicho, es este segundo método el que nos otorga una completa seguridad acerca de la definición del valor relativo de un signo de medida. Afortunadamente, en 1994, durante las excavaciones de Vassilis Aravantinos, se arreglaron unas trincheras abiertas en 1974 en el área del Arsenal en las que no había prácticamente esperanza de encontrar documento alguno ya que la anterior excavación había alcanzado los estratos meso-heládicos. Sin embargo, en la trinchera 1, donde había restos de pavimento micénico, se hallaron dos tablillas completas luego clasificadas como Lf 139 y Ft 140. La primera registra la entrega de trece tejidos a un individuo llamado to-po-ne mientras que la segunda contiene registraciones de cantidades de trigo y aceitunas asociados a varias sitios de Beocia. Este hallazgo inesperado tiene una enorme importancia, no solo porque cualquier documento, incluso el fragmento más pequeño, puede ser valioso e insustituible para el estudioso sino porque la tablilla Ft 140 nos ofrece una suma en la que el primer submúltiplo del sistema de los áridos es transformado en la unidad de medida, es decir que nos ofrece con certeza el valor relativo de T.
   Se presenta a continuación el texto de Ft 140:


.1  te-qa-i               GRA + PE  38                  OLIV 44
.2  e-u-te-re-u        GRA           14                  OLIV 87
.3  ku-te-we-so      GRA           20                  OLIV 43
.4  o-ke-u-ri-jo       GRA             T  5           
.5  e-re-o-ni            GRA           12  T  7         OLIV 20
.6  vacat
.7  vacat
.8  to-ṣọ-pa            GRA             88                     OLIV 194
.9  vacat

   En el documento se registran cantidades de trigo[3] y de aceitunas en relación a cinco sitios de Beocia[4]. Los víveres indicados constituían las cosechas[5] que estaban destinadas a los almacenes del palacio.
   Si se suman los números relativos a las entradas en las que se encuentra el ideograma *122 OLIV se obtiene 194 (44 + 87 + 43 + 20) que es exactamente el total registrado en el renglón 8 (to-so-pa τόσσον πᾶν). Efectuando la misma operación con respecto a las cantidades de trigo obtenemos GRA 87 (38 + 14 + 20 + 3 + 12) T 12 de manera que nos esperaríamos un total de GRA 88 T 2 donde el escriba habría transformado diez unidades de T en la unidad de medida anotando las dos restantes. Sin embargo lo que se encuentra registrado en el renglón 8 es GRA 88 es decir que, no habiendo huella alguna de T 2, hay que constatar que doce unidades de T fueron convertidas en la unidad de medida superior obteniendo la siguiente equivalencia.

U.M. = T 12

   Lo cual conlleva que:

T = 1/12 U.M.

   La tablilla TH Ft 140 nos ofrece un elemento seguro acerca del valor relativo del signo de medida *112 T confirmando que las deducciones basadas en las frecuencias de los números que siguen un metrograma no pueden ser consideradas del todo ciertas y que, de todas formas, la presencia de una suma en la que haya sido efectuada una conversión ofrece un dato irrefutable. .
   La modificación de la cantidad fraccionaria representada por T con respecto a la unidad de medida conlleva la necesidad de corregir los valores relativos de los submúltiplos que se basaban en el precedente dato erróneo. En efecto las equivalencias V = 1/60 U.M. y Z = 1/240 U.M. se deducían de T = 1/10 U.M., multiplicando, en el primer caso, 1/6 (valor de V con respecto a T) por 1/10 (supuesto valor de T) y obteniendo 1/60 y, en el segundo caso, un cuarto (valor de Z con respecto a V) por 1/60 (valor erróneo de V con respecto a la unidad de medida) con el resultado de 1/240.
   A la luz de la tablilla Ft 140 hay que modificar, como se indica a continuación, las cantidades fraccionarias de los submúltiplos del sistema de los áridos con respecto a la unidad de medida:

T = 1/12 
V = 1/72 (1/6 x 1/12)
Z = 1/288 (1/4 x 1/72) 

   La eliminación de la fracción 1/10 resulta coherente en el ámbito de un sistema no decimal y hace que la unidad de los líquidos constituya 1/4 de la de los áridos de manera que los dos sistemas resultan ahora aún más vinculados. Las dos unidades de medidas tienen, pues, entre ellas una relación de tipo entero que permite considerar, por lo menos virtualmente, la existencia de un sistema en el que la unidad de los líquidos sea un submúltiplo de la unidad de los áridos. Los valores fraccionarios del sistema de los áridos se vinculan con los del sistema de los líquidos y de los pesos de manera mucho más coherente y puntual de lo que ocurría usando el dato anterior. Asimismo las comparaciones con las medidas de capacidad de la Grecia del primer milenio producen mayores correspondencias con respecto a la situación precedente.
   Palaima[6], Negri[7] y Facchetti[8] rechazan el dato ofrecido por TH Ft 140 afirmando que se trata de un redondeo o un error por parte del escriba o incluso de una lectura errónea por parte de los editores de las tablillas de la Odos Pelopidou. En efecto el valor T = 1/12 contrastaría con los elementos deducidos en los documentos en los que hay distribuciones de raciones alimentarias que sólo serían compatibles con el valor T = 1/10. Sin embargo, aplicando el nuevo dato a dichos documentos e imaginando otros sistemas de distribución es posible obtener resultados coherentes que impiden no tener en cuenta la fundamental tablilla TH Ft 140 y que llevan a afirmar que no hay razón alguna por la cual rechazar categóricamente el dato crucial que ésta ofrece.



[1] Al determinar cuál es el número mayor posible para el denominador se obtiene la fracción menor posible para el submúltiplo ya que una fracción es mayor cuanto menor es la cifra del numerador.
[2] U. M. = Unidad de Medida.
[3] Encontramos el ideograma *120 GRA en los renglones 2-5 y en el total del renglón 8 mientras que en el renglón 1 encontramos la ligadura GRA + PE que ya estaba atestiguada en KN F 841.2.3 y en los documentos extremadamente lagunosos KN E 9295 y 9322. El determinativo respresentado por el silabograma *72 pe es interpretado como abreviación de pe-mo / pe-ma (*σπέρμο / σέπρμα <*spermn̥) de manera que GRA + PE sería paralelo a la expresión pe-mo /pe-ma GRA varias veces atestiguada en Pilo y que indica la cantidad de siembra posible para un terreno y entonces su superficie. En el caso de TH Ft 140 esta interpretación no es aceptable de manera que se podría admitir que la ligadura tiene en este caso un valor diferente al de las tablillas de Cnoso o que en el documento de Tebas con GRA + PE se especificaba que el trigo estaba destinado a la siembra y no a la distribución de raciones alimentarias (cf. Del Freo 2005, págs. 206-209).
[4] En el primer renglón se encuentra el dativo locativo plural te-qa-i Θήβαις (nominativo Θῆβαι) “en Tebas”. El nominativo e-u-te-re-u *Εὐτρεύς se corresponde probablemente con el topónimo beocio Εὔτρησις atestiguado en el primer milenio. El hapax ku-te-we-so (nominativo o dativo locativo) no ha sido identificado con ningún sitio conocido. En el renglón 5 o-ke-u-ri-jo (nominativo o dativo locativo) puede relacionarse con el griego alfabético Ὠκαλέα (más tarde Ὠκάλεια) o con Οἰχαλία que indican, el primero, un topónimo beocio y, el segundo, uno euboico. En el renglón 5 se encuentra el dativo locativo singular e-re-o-ni Ἐλεῶνι (nominativo Ἐλεών) “en Eleón”, ciudad de Beocia. Cf. Aravantinos – Godart – Sacconi 2001 , págs. 263-264, 370.
[5] Cf. Aravantinos, L. Godart, A. Sacconi 2001,  pág.343; Del Freo 2005, pág.208.
[6] Palaima 2000-2001, Palaima 2003a, Palaima 2003b.
[7] Negri 2005.
[8] Facchetti 2005.

[1] Al determinar cuál es el número mayor posible para el denominador se obtiene la fracción menor posible para el submúltiplo ya que una fracción es mayor cuanto menor es la cifra del numerador.
[2] U. M. = Unidad de Medida.
[3] Encontramos el ideograma *120 GRA en los renglones 2-5 y en el total del renglón 8 mientras que en el renglón 1 encontramos la ligadura GRA + PE que ya estaba atestiguada en KN F 841.2.3 y en los documentos extremadamente lagunosos KN E 9295 y 9322. El determinativo respresentado por el silabograma *72 pe es interpretado como abreviación de pe-mo / pe-ma (*σπέρμο / σέπρμα <*spermn̥) de manera que GRA + PE sería paralelo a la expresión pe-mo /pe-ma GRA varias veces atestiguada en Pilo y que indica la cantidad de siembra posible para un terreno y entonces su superficie. En el caso de TH Ft 140 esta interpretación no es aceptable de manera que se podría admitir que la ligadura tiene en este caso un valor diferente al de las tablillas de Cnoso o que en el documento de Tebas con GRA + PE se especificaba que el trigo estaba destinado a la siembra y no a la distribución de raciones alimentarias (cf. Del Freo 2005, págs. 206-209).
[4] En el primer renglón se encuentra el dativo locativo plural te-qa-i Θήβαις (nominativo Θῆβαι) “en Tebas”. El nominativo e-u-te-re-u *Εὐτρεύς se corresponde probablemente con el topónimo beocio Εὔτρησις atestiguado en el primer milenio. El hapax ku-te-we-so (nominativo o dativo locativo) no ha sido identificado con ningún sitio conocido. En el renglón 5 o-ke-u-ri-jo (nominativo o dativo locativo) puede relacionarse con el griego alfabético Ὠκαλέα (más tarde Ὠκάλεια) o con Οἰχαλία que indican, el primero, un topónimo beocio y, el segundo, uno euboico. En el renglón 5 se encuentra el dativo locativo singular e-re-o-ni Ἐλεῶνι (nominativo Ἐλεών) “en Eleón”, ciudad de Beocia. Cf. Aravantinos – Godart – Sacconi 2001 , págs. 263-264, 370.
[5] Cf. Aravantinos, L. Godart, A. Sacconi 2001,  pág.343; Del Freo 2005, pág.208.
[6] Palaima 2000-2001, Palaima 2003a, Palaima 2003b.
[7] Negri 2005.
[8] Facchetti 2005.




















(1) E. L. Bennett, “Fractional quantities in Minoan bookkeeping”, AJA 54 (1950), págs. 204-222